Ultrasharing Paylaşımın Adresi

Mutlak Değer

Karmaşık sayılara kadar olan kısımda, verilen mutlak değer özellikleri karmaşık sayılar kümesine aynen uygulanamaz. Önerme 1'i ele alırsak:

$|a| = sqrt{a^2}$

her gerçel sayının bir karmaşık sayı olduğunu ve,

bir karmaşık sayının

$z = x + iy,$

olduğunu düşünürsek göreceğiz ki, gerçel sayılarda y katsayısı 0'a eşit. Öyleyse gerçekte $z$ 'nin mutlak değer (ya da karmaşık sayılarda bazen modül olarak adlandırılır) şu şekilde tanımlanabilir.

$|z| = sqrt{x^2 + y^2}.$

Öyleyse bir gerçel sayıda bu işlemi şöyle gerçekleştirebiliriz:

$|x + i0| = sqrt{x^2 + 0^2} = sqrt{x^2} = |x|.$

Mutlak değer bir sayının orijine uzaklığını verir. Karmaşık sayılar iki boyutlu düzlem üzerinde incelendiğinden Pisagor teoremi iki nokta arasındaki uzaklığı bulmada işimize yarayacaktır.Karmaşık düzlemde iki karmaşık sayı arasındaki uzunluğu bulmak içinse aynı gerçel sayılardaki gibi iki sayının farkının mutlak değerini alırız.

Karmaşık sayılar yukarıda verilen 2. ve 3. önermelerin tüm özelliklerini taşır. Bununla beraber,

$z = x + mathrm{i}y = r (cos phi + mathrm{i}sin phi ) ,$

ise, ve

$bar{z} = x - iy$

z karmaşık sayısının eşlenik'i ise, açıkça görülür ki:

$|z| = r,$

$|z|=|bar{z}|$

$|z| = sqrt{zbar{z}}$