Üslü Sayılar
ÜSLÜ Sayilara ÎR ve n Î N+ olmak üzere,
an = a.a.a. ... .a
şeklindeki n tane a nın çarpımına, üslü ifadeler denir ve a nın n inci kuvveti şeklinde okunur.
Örnekler:
a1 = a
11 = 1
21 = 2
(2/5)1 = 2/5
a2 = a.a
12 = 1.1 = 1
22 = 2.2 = 4
(2/5)2 = 4/25
a3 = a.a.a
13 = 1.1.1 = 1
23 = 2.2.2 = 8
(2/5)3 = 8/125
Üslü Sayıların Özellikleri:
1. Sıfırdan farklı bir sayının, sıfırıncı kuvveti 1 dir. Yani, a ¹ 0 iken, a0 = 1 dir.
Örnekler:
10 = 1
10000 = 1
20 = 1
(-5/7)0 = 1
(1/2)0 = 1
(-5)0 = 1
2. Herhangi bir sayının 1 inci kuvveti, o sayının kendisine eşittir. Yani,
a1 = a dır.
Örnekler:
01 = 1
(1/2)1 = 1/2
11 = 1
(-5/2)1 = -5/2
21 = 2
(-3)1 = -3
3. Tabanları aynı olan iki üslü sayının çarpımı, ortak taban alınıp üslerin toplamı alınarak bulunur. Yani,
a m . a n = a m + n dir.
Örnekler:
23 . 22 = 25 = 32
(-5)2 . (-5) = (-5)3 = (-)3 . 53 = -53 = -5.5.5 = -125
(1/2)4 . (1/2) = (1/2)5 = (1/2).(1/2).(1/2).(1/2).(1/2) = 1/32
4. Tabanları aynı olan iki üslü sayının bölümü, ortak taban alınıp payın üssünden paydanın üssü çıkarılarak bulunur. Yani,
Örnekler:
35-2 = 33 = 3.3.3 = 27
105-4 = 101 = 10
5. Üslü bir sayının kuvvetini almak için, taban alınıp üs ile kuvvetin çarpımı üs olarak alınmalıdır. Yani,
(a m) n = a m . n dir.
Örnekler:
(2 3) 2 =2 3 . 2 = 26 = 64
6. Tabanları farklı üsleri aynı olan iki üslü sayının çarpımı, tabanlarının çarpımı yapılıp üs olarak ortak üs alınmalıdır. Yani,
a m . b m = (a . b) m dir.
Örnekler:
23.53 = (2.5)3 = 103 = 10.10.10 = 1000
3100.5100 = (3.15)100 = 15100
7. Tabanları farklı üsleri aynı olan iki üslü sayının bölümü, önce tabanları bölünüp sonra da üs olarak ortak üs alınarak yapılmalıdır. Yani,
Örnekler:
8. a - m = 1/a m ve 1/a - m = a m dir.
Örnekler:
9. (a/b) - m = (b/a) m = b m/a m dir.
Örnek:
10. Tabanları ve üsleri aynı olan üslü sayılar, kendi aralarında toplanıp çıkarılabilir. Yani,
x.an ± y.an = (x ± y).an dir.
Örnekler:
2.57 + 3.57 = (2+3).57 = 5.57 = 51.57 = 51+7 = 58
2.34 + 5.34 - 3.34 = (2+5-3).34 = 4.34 = 4.81 = 324
11. a = b ise, an = bn dir.
Örnek:
x = 5 ise, x2 = 52 dir. Dolayısıyla, x2 = 25 dir.
12. Bir a sayısı, 0, 1, -1 den farklı olmak üzere,
am = an ise, m=n dir.
Örnekler:
Örnek 1: 25x = 5 ise, x kaçtır?
(52)x = 5 Þ 52x = 51 Þ 2x = 1 Þ x = 1/2 olur.
Örnek 2: 32x = 8 ise, x kaçtır?
(25)x = 23 Þ 25x = 23 Þ 5x = 3 Þ x = 3/5 olur.
Örnek 3: 9x/3 = 27 ise, x kaçtır?
9x = 3.27 Þ 9x = 34 Þ (32)x = 34 Þ 32x = 34 Þ 2x = 4 Þ x = 2 bulunur.
13. an = bn iken,
i. n çift sayı ise, a=b veya a= -b dir.
ii. n tek sayı ise, a=b dir.
Örnek: (x+5)2 = 4 ise, x kaçtır?
(x+5)2 = 22 olduğundan, x+5 = 2 veya x+5 = -2 olur. Buradan, x= -3 veya x= -7 bulunur.
Örnek: (x-8)3 = 125 ise, x kaçtır?
(x-8)3 = 53 olduğundan, x-8 = 5 olur ve buradan x= 13 bulunur.
14. 1 sayısının herhangi bir kuvveti, 1 dir. Yani, 1n = 1 dir.
Örnekler:
10=1, 12=1, 1-3, 11/2=1
ÖRNEKLER
Örnek 1: 9.(-3)2 işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm: 9.(-3)2 = 9.(1/(-3)2) = 9.(1/9) = 1
Örnek 2: (-7)23 işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm: (-7)23 = (-)23.723 = - 723
Örnek 3: (-2)4 işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm: (-2)4 = (-)4.24 = 24 = 16
Örnek 4:
Çözüm:
Örnek 5: (-4)2 + (-4)2 : 8 = ?
Çözüm: (-4)2 + (-4)2 : 8 = 16 +16 : 8 = 16 + 2 = 18
Örnek 6: (-3)15 + 2.(-3)15 = ?
Çözüm: (-3)15 + 2.(-3)15 = (1+2).(-3)15 = 3.(-3)15 = 3.(-)15.315 = - 3.315 = 316
Örnek 7: 53 - 25 + 34 = ?
Çözüm: 53 - 25 + 34 = 125 - 32 + 81 = 206 - 32 = 174
Örnek 8: (-3)3.32.3-1 = ?
Çözüm: (-3)3.32.3-1 = -33.32.3-1 = - 33+2-1 = - 34 = - 81
Örnek 9: (16)1/2 = ?
Çözüm: (16)1/2 = (42)1/2 = 41 = 4
Örnek 10: (32)-1/5 = ?
Çözüm: (32)-1/5 = (25)-1/5 = 2-1 = 1/2
Örnek 11: 23x-7 = 32 ise, x = ?
Çözüm: 23x-7 = 32 Þ 23x-7 = 25 Þ 3x-7 = 5 Þ 3x = 5+7 Þ 3x=12 Þ x=4
Örnek 12: 32x.34 = 27 ise, x = ?
Çözüm: 32x.34 = 27 Þ 32x+4=33 Þ 2x+4=3 Þ 2x=3-4 Þ 2x= -1 Þ x= -1/2
Örnek 13: 2x.26 = 8 ise, x kaçtır?
Çözüm: 2x.26 = 8 Þ 2x+6=23 Þ x+6=3 Þ x=3-6 Þ x= -3
Örnek 14:
Çözüm:
Örnek 15:
Çözüm:
Örnek 16:
ise, n kaçtır?
Çözüm:
dır. Buradan, an = a3 tür ve böylece n=3 bulunur.
Örnek 17:
3n + 3n+1 + 3n+2 = 13.32n ise, n kaçtır?
Çözüm:
3n(1+3+32) = 13.32n
3n .13 = 13.32n
Buradan, 3n = 32n bulunur. Her iki taraf 3n ile bölünürse,
32n/3n = 1 olur ve 32n-n = 1 3n = 1 n=0
olur.
Örnek 18:
ve
ise, (k+m) toplamı kaçtır?
Çözüm:
2-(k+1) = 23k
5-2m+3 = 51
-k-1 = 3k
-2m+3 = 1
-1 = 4k
2m = 2
k = -1/4
m = 1
Buradan, k+m = -1/4+1 = 3/4 bulunur.
Örnek 19:
ise, m kaçtır?
Çözüm:
6m = 4m+8
2m=8
m=4
Örnek 20:
320 - 6.318 = ?
Çözüm:
318.32 - 6.318 = 318.(32-6) = 318.3 = 319
Örnek 21:
3x = 2a ve 2x+3 = b ise, 6x in a ve b cinsinden değeri kaçtır?
Çözüm:
2x+3 = b Þ 2x.23 = b Þ 2x = b/8 dir.
6x = (2.3)x = 2x.3x = (b/8).2a = (a.b)/4
bulunur.
Örnek 22:
m, n, p birer tamsayı olmak üzere, 2m + 2n + 2p = 28 ve m > n > p ise,
m + 2n -3p = ?
Çözüm:
2m + 2n + 2p = 28 ve m > n > p koşulunu sağlayan değerler şunlardır:
m = 4, n = 3, p = 2.
Böylece,
m + 2n -3p = 4 + 2.3 - 3.2 = 4 + 6 - 6 = 4 olur.
Örnek 23:
16m = 5 ise, 22m kaç olur?
Çözüm:
16m = 5 Þ (24)m = 5 Þ 24m = 5 Þ (24m )1/2 = (5)1/2 Þ 22m = 51/2 bulunur.
Örnek 24:
Çözüm:
Örnek 25:
ise, x kaçtır?
Çözüm:
x+1 = 0
x = -1
Örnek 26:
Çözüm:
= 4 - 9 + 8 = 12 - 9 = 3
Örnek 27:
2x = 15, 3y = 90, 7z = 30 ise, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
a) x < y < z b) z < x < y c) y < x < z d) x < z < y e) z < y < x
Çözüm:
2x = 15 olduğundan, x değeri 3 ile 4 arasındadır. Yani, 3 < x < 4 dür.
3y = 90 olduğundan, y değeri 4 ile 5 arasındadır. Yani, 4 < y < 5 dir.
7z = 30 olduğundan, z değeri 1 ile 2 arasındadır. Yani, 1 < z < 2 dir.
Dolayısıyla,
z < x < y
olmalıdır. Doğru seçenek, b dir.